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Problem ohne Antwort: Wie viele Würfe braucht man durchschnittlich, bis man eine Sechs gewürfelt hat?

Mit ein wenig Statistik-Wissen läßt sich zwar berechnen, wie warhscheinlich es ist, mit zwei Würfen zweimal die höchste Punktzahl zu erreichen, aber es gibt Würfel-Probleme, die sich nicht mathematisch lösen lassen. Darunter auch die Frage: Wie viele Würfe braucht man durchschnittlich, um eine sechs zu würfeln.

Das Ergebnis lässt sich NICHT nur durch Simulation herausfinden: Die ersten Versuche haben wir selbst gemacht und die Zahl der Würfe auf einem Karopapier notiert, bis ein kleines Schaubild entstanden ist. Wenn Sie an der (recht komplizierten) mathematischen Lösung interessiert sind, dann schauen Sie sich den Leserbrief am Ende des Artikels an).

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Ein Computer kann so etwas viel besser: Die entsprechende Würfel-Simulation ist in der einfachen Programmiersprache LUA schnell erstellt (s. Bild unten). Besonders gut: CODEA ist eine iPad-App mit der man schnell und einfach tolle Programme ganz ohne Computer schreiben kann (teure 15 Euro, die sich aber mehr als lohnen).


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Programmier-Umgebungen für mobile Geräte sind leider immer noch selten. CODEA ist ein absoluter Tipp – auch, um Kindern programmieren bei zu bringen oder komplizierte Frage zu beantworten.

Codea bei iTunes

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Hier ist die Erklärung eines aufmerksamen Lesers, der die rechnerische Lösung des Problems erklärt. Und: Danke dafür!

Sie schreiben, dass das Problem, wie viele Würfel-Würfe man durchschnittlich braucht, um eine 6 zu würfeln mathematisch nicht lösbar sei. Dem ist allerdings nicht so. Nachfolgend möchte ich zeigen, wie dieses Problem mathematisch zu bewältigen ist:
Die Wahrscheinlichkeit dass man einen Würfelwurf braucht ist offenbar (1/6)=0.1666…
Die Wahrscheinlichkeit, dass man zwei Würfe braucht ist (5/6)*(1/6) ( 5/6 dafür dass im ersten Wurf keine 6 gefallen sein darf, 1/6 dafür dass sie im zweiten fallen muss).
Analog ist die Wahrscheinlichkeit, dass im dritten Wurf die erste 6 auftaucht (5/6)*(5/6)*(1/6)=(5/6)^2*(1/6), oder allgemein dafür, dass sie im k-ten Wurf auftaucht: (5/6)^k*(1/6).
Wir erhalten also für die durchschnittliche Anzahl D_mittel an Würfen bis zur ersten 6:
D_mittel=1*(5/6)^0*(1/6)+2*(5/6)^1*(1/6)+3*(5/6)^2*(1/6)+4*(5/6)^3*(1/6)+…=(1/6)(1*(5/6)^0+2*(5/6)^1+3*(5/6)^2+4*(5/6)^3+…)=(1/6)(1*a^0+2*a^1+3*a^2+4*a^3+…) mit a=5/6
Diese Summe 1*a^0+2*a^1+3*a^2+4*a^3+… ist aber in der Mathematik wohlbekannt und berechenbar. Sie konvergiert genau dann wenn |a|<1 und in diesem Fall ist ihr Wert 1/(a-1)^2. Da in unserem Fall a=5/6 und |5/6|<1 erhalten wir, dass 1*(5/6)^0+2*(5/6)^1+3*(5/6)^2+4*(5/6)^3+…=1/(1-5/6)^2=6^2=36 und damit.
D_mittel=36/6=6.
Es braucht also im Durchschnitt 6 Würfe um die erste 6 zu Würfeln. Dies stimmt offenbar mit der Intuition überein und wird auch durch Symmetrieüberlegungen zwischen den Zahlen 1,..,6 nahegelegt.

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